n계 도함수 구하기: 𝑒²sin⁡𝑥 의 n계 도함수 계산법

도함수는 함수의 변화율을 나타내며, 특히 여러 번의 도함수를 구하는 n계 도함수는 특정 함수의 고차원적인 변화를 설명할 때 사용됩니다. 이번 포스팅에서는 주어진 함수 𝑒² sin⁡𝑥의 n계 도함수를 구하는 방법을 자세히 설명하겠습니다.

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1. 주어진 함수와 도함수 개념 복습

함수 f(x)=𝑒²sin⁡𝑥 에서, 𝑒²은 상수이기 때문에 도함수를 계산할 때는 sin⁡x에만 집중하면 됩니다. 𝑒²는 상수로 남아 있으므로, 실제로는 f(x)=Csin⁡xf(x) = C sin x의 n계 도함수를 구하는 문제와 동일합니다.

• 함수: f(x) = 𝑒²sin⁡𝑥
• 상수 부분: 𝑒² (따라서 도함수 계산 시 상수로 유지됨)

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2. n계 도함수를 구하는 기본 원리

먼저, 기본 도함수와 고계 도함수 계산의 기본을 복습해 보겠습니다.

• 첫 번째 도함수: f′(x)= 𝑒² cos𝑥
• 두 번째 도함수: f′′(x)= -𝑒² sin𝑥
• 세 번째 도함수: f′′′(x)=- 𝑒² cos𝑥
• 네 번째 도함수: f⁴(x)= 𝑒² sin𝑥

이처럼 함수의 도함수가 주기적 패턴을 보임을 확인할 수 있습니다.

3. n계 도함수 패턴 분석

위에서 구한 도함수를 보면, 함수는 네 번마다 주기를 이루고 반복됩니다.

• 주기적인 반복: f⁴(x) = f(x)

따라서, n계 도함수 fⁿ (x)는 n을 4로 나눈 나머지에 따라 결정됩니다.

1. n≡0  fⁿ (x) = 𝑒² sin𝑥
2. n≡1  fⁿ (x) = 𝑒² cos𝑥
3. n≡2  fⁿ (x) =  -𝑒² sin𝑥
4. n≡3  fⁿ (x) = - 𝑒² cos𝑥

이 규칙에 따라 𝑒² sin⁡𝑥  의 n계 도함수를 쉽게 구할 수 있습니다.

4. 예시 계산

예를 들어, fⁿ 에서 n =10일때를 구하려면 10÷4=2 나머지 2 이므로, f(10)(x)= -𝑒² sin𝑥 가 됩니다.

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결론

주어진 함수 𝑒² sin𝑥 의 n계 도함수는 4번마다 반복되는 패턴을 이용하여 간단히 구할 수 있습니다. 이 규칙을 잘 활용하면 복잡한 n계 도함수를 계산할 때 효율적으로 해결할 수 있습니다.