1차원 상자 속 전자의 파동 함수 규격화 증명

1. 1차원 상자 문제와 규격화의 의미

양자역학에서 전자가 특정 구간에 갇혀 있는 문제는 입자-상자 모형으로 설명됩니다. 이는 전자가 상자의 벽 밖으로 나갈 수 없고, 구간 내부에서만 운동할 수 있는 상태로 가정한 모델입니다. 이 모델은 주로 1차원으로 다루어지며, 물리학에서 기초적인 양자 모형 중 하나로 꼽힙니다.

규격화의 의미

파동 함수는 특정 확률 분포를 나타내며, 이 확률이 전체 구간에서 1이 되어야 한다는 규격화 조건을 만족해야 합니다. 즉, 전자가 1차원 상자 안에 반드시 존재해야 하므로 파동 함수의 절대값 제곱을 구간 전체에 대해 적분하면 1이 되어야 합니다.

 

2. 파동 함수 설정 및 문제 정의

전자가 크기 L=1인 1차원 상자 안에 갇혀 있고, 주어진 파동 함수가 다음과 같습니다:

 

 

파동 함수의 규격화 조건

위 파동 함수가 규격화되어 있음을 증명하려면 다음 식을 만족해야 합니다:

 

3. 파동 함수의 절대값 제곱 계산

우선 파동 함수의 절대값 제곱인 ∣ψ(x)∣2|\psi(x)|^2∣ψ(x)∣2를 계산합니다. 이는 파동 함수의 확률 밀도에 해당하며, 다음과 같습니다:

 

이제 이 값을 규격화 적분에 대입합니다:

 

4. 삼각 함수 항등식을 이용한 변형

적분을 풀기 위해 삼각 함수 항등식을 사용합니다.

로 변환할 수 있습니다.

 

따라서:

이를 적분에 대입하면 다음과 같습니다:

 

5. 각 항에 대한 적분 계산

이제 (1 − cos⁡(2πx))의 각 항에 대해 적분을 계산합니다:

• 상수항 111에 대한 적분

• 코사인 항 cos⁡(2πx)에 대한 적분:

따라서 전체 적분의 결과는 다음과 같습니다:

 

 

6. 결론: 규격화 조건 만족

 

따라서 주어진 파동 함수 ψ(x)=제곱근2 * sin⁡(π x)는 1차원 상자 문제에서 규격화 조건을 만족함을 증명할 수 있었습니다. 이는 전자가 1차원 상자 내부에 존재할 확률이 100%임을 보장합니다.

 

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7. 응용: 상자 안의 입자 모형의 중요성

 

1차원 상자 모형은 양자역학의 기본 개념을 이해하는 데 중요한 역할을 합니다. 실제 입자가 가질 수 있는 에너지 준위와 확률 분포를 구할 수 있기 때문에, 전자나 양성자와 같은 입자의 물리적 특성, 특히 고유 상태와 에너지 준위를 설명하는 데 유용합니다.

추가적으로 논의할 수 있는 내용:

• 양자 에너지 준위 계산: 상자 내에서 전자의 에너지 준위는 정수 배의 파동으로 표현되며, 에너지가 이산적입니다.
• 파동 함수의 형태 변화: 상자의 크기가 달라지면 파동 함수의 형태도 변하고, 이에 따라 전자의 에너지가 달라지는 원리.