무한급수 arctan(4x) 의 수렴 구간 구하기 – 풀이 과정과 설명

무한급수로 표현되는 함수는 특정 구간 내에서만 수렴합니다. 이번 포스팅에서는 무한급수 형태로 전개되는 arctan⁡(4x)의 수렴 구간을 구하는 방법을 단계별로 설명하겠습니다.

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1. arctan(4x)의 테일러 급수 전개

arctan(x)의 테일러 급수 전개는 다음과 같습니다.

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이를 이용하여 arctan(4x)의 급수 전개를 구할 수 있습니다. x 대신 4x를 대입하여, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

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이때 급수는 x의 지수로 나타나므로, 수렴 구간을 찾기 위해 ∣x∣|x|∣x∣의 조건을 구해주어야 합니다.

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2. 수렴 반경 구하기 – 비율 테스트

수렴 반경을 구하기 위해 비율 테스트(비교법)를 사용합니다.

각 항을

​라고 하면, 비율 테스트에 의해 다음이 성립합니다.

이를 통해 구체적으로 계산해 보면:

이로부터, ∣4x∣ < 1 이 되어야 함을 알 수 있으며, 이를 풀어보면 다음과 같습니다.

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3. 결론: 수렴 구간

따라서, arctan(4x) 급수의 수렴 구간은 다음과 같습니다.

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이 구간 내에서만 급수가 수렴하게 됩니다.

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요약

• arctan(4x)의 급수 전개는

  

  로 표현됩니다.
• 비율 테스트를 통해 수렴 반경을 구한 결과, 수렴 구간은

  

  
  가 됩니다.